Hemen zaude:
 » 
Euklidesen «Elementuak» lanaren itzulpena, matematika arloko euskararen normalizazioarako ekarpena - Patxi Angulo Martin

Inprimatu

Data: 2006ko abendua

Euklidesen «Elementuak» lanaren itzulpena, matematika arloko euskararen normalizazioarako ekarpena - Patxi Angulo Martin


Irakurri artikulua pdf formatuan.


Laburpena

2005eko maiatzean Euklidesen Elementuak liburuaren euskarazko lehenengo argitalpena plazaratu genuen, Elhuyarren eskutik. Itzulpena nik, Patxi Angulok, egin nuen; zuzenketa J. R. Etxebarriaren esku geratu zen; eta aldameneko laguntzailea X. Artola izan nuen; Elhuyarrek ere bere iritziak eta zuzenketak helarazi zizkidan. Grezierazko terminoetarako Javier Alonsoren eta Cristina Lasaren laguntza izan genuen.

Artikulu honetan itzulpen hori eta euskararen normalizazioa lotu nahi ditugu. Zehazki, erakutsi nahi dugu zertan eragiten dion itzulpengintzak euskararen normalizazioari. Liburuak matematika arloko euskararen normalizaziorako proposamen bat baino ez du izan nahi; hain zuzen, sarreran aipatzen dugun bezala, liburu hori itzulpenen aukera bat baino ez da.

Hasteko itzulpenaren xehetasunak emango ditugu. Ondoren, normalizazioaren alderdi desberdinetan egin ditugun ekarpenak azalduko ditugu. Hasteko, terminoen sailkapena egingo dugu: termino ezagunak, aldatuak, berriak, egokituak eta testuko aditz terminologikoak barne; ondoren, diskurtso matematikoaren hizkuntza-elementuak deskribatuko ditugu eta, azkenik, esamoldeak agertuko ditugu. Datu guztiak lau hizkuntzatan emango ditugu eta dagozkien lehen agerpenak ere zehaztuko ditugu. Bukatzeko, ondorio batzuk emango ditugu.





Itzulpenaren nondik-norakoak

Lan honi ekin genionean, matematika arloko libururik zaharrena euskaratzea pentsatu genuenean, itzulpena egitea baino ez zen gure helburua. Lanari ekin bezain pronto, ordea, konturatu ginen hasi baino lehen, edo hastearekin batera, erabaki batzuk hartu behar genituela. Itzulpen-teoriaren ikuspuntutik, zer itzulpen-mota egin behar genuen zen lehenengo galdera: hitzez hitzeko itzulpena egingo genuen? edo gaur egun erabilgarri eta ulergarri izango litzatekeen itzulpena? edo itzulpen moldatua egingo genuen? Kontuan izan behar da itzulpena ez genuela egingo jatorrizko testutik; izan ere, jatorrizko testua galduta dago, eskuizkribu zahar eta partzial batzuk baino ez dira geratzen; lan osoa XIX. mendean bildu zuen J. L. Heiberg-ek, greziera berrian. Bestalde, testua matematika arlokoa da; beraz, ez da testu orokorra, alegia, testuko hizkera-baliabideak ez dira hizkera arruntekoak. Matematikaren ikuspuntutik ere bagenuen zerbait erabakitzeko: Euklidesen idazkerari atxiki edo gaur egungo idazkera erabili? Kontzeptu matematikoak zeuden berean utzi edo egokitu?

Itzulpenarekin hasi eta berehala konturatu ginen galdera horien garrantziaz eta erantzutearen beharraz. Lanean murgildu ahala hasi ginen erabakiak hartzen. Gure abiapuntua gaztelaniazko eta ingelesezko itzulpenak izan ziren. Horiek lagundu ziguten helburua mugatzen. Erabilitako testuetan Euklidesen testuari atxiki zitzaizkion egileak, neurri handiagoan edo txikiagoan. Ez horietan bakarrik, kontsultatu ahal izan genituen beste testu batzuetan era joera bera ikusi genuen, batean izan ezik (G. Kayas-ek, ezkerreko orrialdean, grezierazko testua kokatu zuen, eta eskuineko orrialdean, frantsesezko testua, baina gaur egungo formula eta adierazpen matematiko berriekin). Beraz, hori izan zen gure lehenengo erabakia, matematikaren ikuspuntutik, ez genuen Euklidesen testua eguneratuko. Hain zuzen, matematika-testua bada ere, izan duen bilakaera kontuan izanik, testua garrantzi handia hartzen joan da beste alderdi batzuetan: matematikoan esan bezala, filosofikoan eta liburugintza-itzulpengintzan. Horrela, hitzez hitzeko itzulpena egitea erabaki genuen; gure ustez, testuari eta haren historiari hobeto egokitzen zitzaion itzulpen-mota zelako. Jakina, hitzez hitzeko itzulpena diogunean salbuespenak egon zitezkeela onartzen genuen aldez aurretik.

Itzultzaile adituak izan gabe, Seleskovitch-ek (Mendiguren, 1985) aipatzen dituen hiru gaitasunen jabe garela uste dugu: hizkuntza arrotza (gaztelania, ingelesa, frantsesa) ondo ezagutu; jakintza-arlo baten (Matematikaren) jabe izatea; bi hizkuntzak (gaztelania-ingelesa-frantsesa eta euskara) ongi bereizten jakitea. Emaitza eskuragarri dago, nahi duenak azter dezan.

Terminologiaren sorrera

Euklidesek Elementuak idatzi zuenerako 300 urte zeramatzaten matematikari greziarrek Matematika aztertzen eta matematika-testuak idazten. Beraz, Euklides ez zen hutsetik abiatu bere lanari ekiteko eta, ondorioz, ez zion ekin behar izan hizkuntza berezitu bat asmatzeari. Nabaria da hori Euklidesen testuan; izan ere, hamahiru liburuetan dauden terminoetatik gutxi batzuk sortu zituen Euklidesek, eta horietatik bakan bat heldu zaigu guri.

Dena dela, Euklidesen garaia aztertzen badugu, euskararen gaur egungo egoeraren antza duten ezaugarri batzuk aurkitzen ditugu, liburuaren hitzaurrean iradoki genuen bezala. Garai hartan, K. a. 300 urtean gutxi gorabehera, Grezian dialekto askotan hitz egiten zuten; esan dezakegu hiri-estatu hartan hiri bakoitzak dialekto bat zerabilela. K. a. 334-323 urte bitartean, Alexandro Handiak lurralde zabala konkistatu zuen, Greziaren eta Indiaren artekoa, mendebaldetik ekialdera, eta Itsaso Beltzaren eta Egiptoren artekoa, iparraldetik hegoaldera. Hamaika urte haiek nahikoa izan ziren greziera hizkuntza, Atikako greziera hain zuzen, lurralde hartako herri guztien arteko truke-hizkuntza bihurtzeko, «greziera batua» izan zitekeena. Ez dakigu zer greziera erabili zuen Euklidesek, baina batean zein bestean, gure arazoen antzekoak izango zituela pentsa dezakegu: Matematika arloko testu berezitua idatzi, beste dialektodun matematikariek ulertzeko modukoa; aurreko matematikariek idatzitako testuak bere dialektoan eman; termino berriak sortu…

Euklidesek idatzitako hamahiru liburuak Geometrian, planokoan (I-IV, VI) eta espaziokoan (XI-XIII), Magnitudeen eta Proportzioen teorian (V), Zenbaki-teorian (VII-IX) eta Zenbaki irrazionalen teorian (X) kokatzen dira. Terminologiaren ikuspuntutik V. eta X. liburuak dira berezituenak, gainerakoek oinarrizko matematika lantzen dute eta.

Euskarazko bertsioari dagokionez, liburuaren bukaeran bost hizkuntzatako hiztegia prestatu genuen. Argitu behar dugu hiztegi hori erabilitako itzulpenen hiztegia dela; izan ere, itzulpen horietan erabili ditugun terminoak baino ez daude, eta itzulpenetan dauden bezala bildu ditugu. Beraz, hiztegia ez da hartu behar matematika-hiztegi arauemailetzat. Cabré-k (Cabré, 2000) dioenez, «Glosategi terminologiko bat osatzeko, testu berezitu baten itzulpenean sortutako arazoak konpontzeko helburuarekin, itzultzaileak bere lanean dituen beharren analisitik abiatu behar da, eta behar horien arabera osatu behar da.» Agian, hiztegi honek ez du probetxu sistematikoa izango, Cabrék hirugarren mailarako eskatzen duen bezala; baina guretzat, eta espero dugu irakurlearentzat ere bai, lagungarria izan da.

Lan honetan agertuko diren taulen eskuineko zutabean terminoa lehen aldiz non agertzen den zehazten dugu, lehenago liburua eta ondoren kokapena: d=definizioa, l=lema, nk = nozio komuna, oo = oinoharra, p=proposizioa, po=postulatua, por = porisma.

Azkenik, zerrendetako terminoek ohar batzuk daramatzate erantsita: zenbakituek Euklidesek idatzitakoari buruzko informazioa daramate; parentesien arteko terminoak Euskaltermekoak dira; (ez) jarri badugu, terminoa ez dago Euskaltermen. Azkenik, * izartxoarekin markatutakoek aparteko azalpena daramate.

Euskalterm datu-basean dauden terminoak

Gure itzulpenean erabili ditugun terminoen erdia baino gehiago Euskaltermen agertzen diren bezala erabili ditugu. Ez zen zaila hori aurreikustea, kontuan izanik Euklidesen liburu gehienak Matematikaren oinarrizko arloetan kokatzen direla, Geometrian eta Zenbaki-teorian, hain zuzen. Atal honetan agertzen diren terminoak, beraz, ez dira berriak.

ahur cóncavo concave concave III, 8 p
alde lado side côté I, 20 d
angelu kamuts ángulo obtuso obtuse angle angle obtus I, 11 d
angelu lau ángulo plano plane angle angle plan I, 8 d
angelu solido ángulo sólido solid angle angle solide XI, 11 d
angelu zorrotz ángulo agudo acute angle angle aigu I, 12 d
angelu zuzen ángulo recto right angle angle droit I, 10 d
angeluberdin equiángulo equiangular équiangle IV, 11 p
angeluzuzen rectangular right-angled (rectangular) rectangle(rectangulaire) I, 22 d
ardatz eje axis axe XI, 15 d
arrazoi razón ratio rapport V, 3 d
atzekari consecuente consequent conséquent V, 11 d
aurrekari antecedente antecedent antécédent V, 11 d
azalera área area aire I, 34 p
barne-angelu ángulo interno interior angle angle intérieur I, 16 p
berdin igual equal égal, e I, 4 d
biderkatu multiplicar to multiply multiplier V, 4 d
bihurketa conversión conversion conversion V, 16 d
binomial1 binomial binomial binomiale X, 36 p
bosten quinta parte one-fifth cinquième IV, 16 p
definizio definición definition définition I
dekagono decágono decagon décagone XIII, 9 p
desberdin desigual unequal inégal, e I, 20 d
diagonal diagonal diagonal diagonale XI, 28 p
diametro diametro diameter diamètre I, 17 d
dodekaedro dodecaedro dodecahedron dodécaèdre XI, 28 d
ebaki-puntu punto de sección point of section point de section VI, 2 p
elementu elemento element élément  
erdibitu dividir en dos partes iguales (bisectar) bisect couper en deux parties égales (bissecter) I, 17 d
erdibitze-puntu punto de bisección point of bisection (bisecting point) point de dichotomie (ez) X, 41 l
erdikari medio mean moyen (ez) VII, 24 p
erlazio relación relation relation V, 3 d
erpin vértice vertex sommet XII, 3 p
erpinez aurkako angelu ángulo opuesto por el vértice vertical angle angle au sommet (angle opposé par le sommet) I, 15 p
erronbo rombo rhombus losangue I, 22 d
erronboide romboide rhomboid rhomboïde I, 22 d
esfera esfera sphere sphère XI, 14 d
finitu finito finite limité, e (fini, e) I, 2 po
gai término term terme V, 8 d
gainazal2 superficie surface surface I, 5 d
gainazal lau2 superficie plana plane surface surface plane I, 7 d
ganbil convexo convex convexe III, 8 p
gauza cosa thing chose I, 1 nk
guztizko total whole (total) tout (total, e) I, 2 nk
hamabosten quinceava parte fifteenth quinzième IV, 16 p
heren tercera parte one-third tiers, tierce IV, 16 p
hexagono hexágono hexagon hexagone IV, 15 p
hondar resto remainder reste I, 3 nk
ikosaedro icosaedro icosahedron icosaèdre XI, 27 d
infinitu infinita infinite illimité, e (infini, e) VII, 31 p
inklinazio3 inclinación inclination inclinaison I, 8 d
inskribatu inscrito to inscribe inscrire IV, 1 d
irudi figura figure figure I, 14 d
karratu+ cuadrado square carré I, 22 d
koadrante cuadrante quadrant quadrant XII, 17 p
kono cono cone cône XI, 18 d
konposizio composición composition composition V, 14 d
kopuru número / cantidad multitude (ez) multitude (ez) V, 17 d
kubo cubo cube cube XI, 25 d
lauki cuadrilátero quadrilateral quadrilatère III, 22 p
lerro linea line ligne I, 2 d
lerro zuzen linea recta straight line ligne droite I, 4 d
lerrozuzen4 rectilíneo rectilinear rectiligne I, 9 d
luzera longitud length longueur (mat. ez) I, 2 d
magnitude magnitud magnitude grandeur V, 1 d
muga límite (frontera) boundary frontière I, 13 d
multiplo múltiplo multiple multiple V, 2 d
mutur extremo extremity (boundary) limite (extrême) I, 3 d
neurtu medir to measure mesurer V, 1 d
noranzko sentido direction (directional sense) chaque côté (direction, sens) I, 17 d
oinarri5 base base base I, 4 p
oktaedro octaedro octahedron octaèdre XI, 26 d
ordena orden order ordre X, 66 p
ortogonal6 ortogonal at right angles (orthogonal) à angles droits (orthogonal) XI, 3 d
osagarri7 complemento complement complément I, 43 p
paralelo paralelo parallel parallèle I, 23 d
paralelogramo paralelogramo parallelogram parallélogramme I, 34 p
pentadekagono pentadecágono fifteen-angled figure (pentadecagon) pentadécagone IV, 16 p
perpendikular6 perpendicular perpendicular perpendiculaire I, 10 d
piramide pirámide pyramid pyramide XI, 12 d
plano plano plane plan I, 8 d
poligono polígono polygon polygone VI, 20 p
prisma prisma prism prisme XI, 13 d
proportzio proporción proportion proportion V, 8 d
proportzional proporcional proportional en proportion / proportionnel, elle V, 6 d
puntu8 punto point point I, 1 d
segmentu segmento segment segment II, 1 p
sektore sector sector secteur III, 10 d
sekzio komun sección común common section section commune XI, 4 d
solido sólido solid solide XI, 1 d
solido poliedro sólido poliedro polyhedral solid solide polyédrique (solide polyèdre) XII, 17 p
trapezio trapecio trapezium (trapezoid) trapèze I, 2 d
triangelu triángulo triangle triangle I, 20 d
triangelu eskaleno triángulo escaleno scalene triangle triangle scalène I, 20 d
triangelu isoszele triángulo isósceles isosceles triangle triangle isocèle I, 20 d
triangelu kamuts triángulo obtusángulo obtuse-angled triangle (obtuse triangle) triangle obtusangle I, 21 d
triangelu zorrotz triángulo acutángulo acute-angled triangle (acute triangle) triangle acutangle I, 21 d
triangelu zuzen triángulo rectángulo (triángulo recto) right-angled triangle (right triangle) triangle rectangle I, 21 d
txandakako angelu ángulo alterno alternate angle angle alterne I, 27 p
ukitzaile(a)9 (la) tangente (the) tangent (la) tangente III, 18 p
ukitze-puntu10 punto de contacto point of contact point de contact III, 11 p
ukitze-puntu punto de contacto point of meeting point de contact XI, 5 p
unitate unidad unit unité VII, 1 d
zati parte part partie I, 1 d
zatitu dividir divide diviser V, 1 p
zenbaki número number nombre VII, 2 d
zenbaki bakoiti número impar odd number nombre impair VII, 7 d
zenbaki bikoiti número par even number nombre pair VII, 6 d
zenbaki karratu número cuadrado (núm. cuadrático) square number nombre carré (nom. quadratique) VII, 18 d
zenbaki konposatu número compuesto composite number nombre composé VII, 13 d
zenbaki lehen número primo prime number nombre premier VII, 11 d
zenbaki perfektu número perfecto perfect number nombre parfait VII, 22 d
zentro centro centre (center) centre I, 16 d
zilindro cilindro cylinder cylindre XI, 21 d
zirkulu11 círculo circle cercle I, 15 d
zirkulu nagusi círculo máximo greatest circle (great circle) grand cercle XII, 17 p
zirkulu-segmentu segmento de círculo (segmento circular) segment of circle (segment of a circle) segment de cercle (segment circulaire) III, 11 d
zirkuluerdi semicírculo semicircle demi-cercle I, 18 d
zirkunferentzia11 circunferencia circumference circonférence I, 15 d
zirkunskribatu circunscrito to circumscribe circonscrire IV, 2 d

Euskalterm datu-basean aurkitu baina moldatu behar izan ditugun terminoak

Bigarren atalean, aztertuko ditugun terminoek badute ordain bat Euskaltermen, baina forma edo esanahia aldatu egin diegu arrazoiren batengatik. Hona hemen arrazoi horien azalpenak.

Taula honetan dauden terminoak Euskaltermen beste arlo batzuetan agertzen dira, ez Matematika arloan. Beraz, guk hitzak aldatu gabe, Matematika arloan erabili ditugu esanahia aldatu gabe, kasu batzuetan, eta esanahia berezituz, beste batzuetan (*).

aniztasun+ pluralidad multitude (ez) multitude (ez) VII, 2 d
bereizketa+ separación separation séparation V, 15 d
diada díada dyad dyade IX, 32 p
monada mónada monad unité (monade) I, 1 oo
postulatu postulado postulate demande (postulat) I
tamaina+ tamaño size taille V, 3 d
zabalera+ anchura breadth (width) largeur I, 2 d

Kasu honetako terminoek esanahi berezia dute Elementuak testuan. Esan nahi dugu Euklidesek ez zituela erabili guk gaur egun egingo genukeen bezala.

diametro12 diametro diameter diamètre I, 17 d
distantzia distancia distance intervalle (distance) I, 3 po
erradio13 radio radius rayon XII, 17 p
neurtu medir to measure mesurer V, 1 d

Azkenik, «neurtu» aditza ez dugu ulertu behar «neurria hartu» edo «neurria kalkulatu» bezala; testu honetan zatitu esanahia du, oro har. Eta horren erabilera honela ulertuko dugu: magnitude bat (V liburuan) edo zenbaki bat (VII-IX liburuetan) beste baten zatia edo azpimultiploa da lehenengoak bigarrena zatitzen badu.

Hurrengo taularen azalpenari ekingo diogu hemen. Triangeluen testuinguruan, «alde batek subtiende, subtends, sous-tend* angelu bat» esaldiak alde batek aurkako angelu bat duela adierazten du. Horregatik aukeratu dugu «aurkakoa izan» subtender, to subtend, sous-tendre emateko, eta ez «subtenditu».

«Auzokide» eta «ondoz ondoko» terminoek azalpen luzeagoa behar dutelakoan gaude. Itzulpenean, lehenengoa poligonoetan erabili dugu, triangeluetan esaterako, eta bigarrena angeluetan. Bestalde, Zientzia eta teknikarako euskara liburuan, «ondoz ondoko angeluak» eta «angelu auzokideak» aldakiak azaltzen dira eta, Matematika 1 hiztegian, «ondoz-ondoko angeluak» eta «angelu auzokideak»; ondoz ondoko angeluak erpin bera eta alde komun bat dituztenak dira, eta angelu auzokideak, irudi batean, esaterako triangelu batean, alde baten bi muturretan daudenak dira. Matematika 2 hiztegian, ordea, «angelu auzokideak» eta «ondoz ondoko» agertzen dira zerrendetan. Bestalde, gaztelaniazko hiztegietan ángulos adyacentes terminoa agertzen da ondoz ondoko angeluen ideia emateko. Ingelesezko hiztegian, adjacent angles eta adjacent terminoak agertzen dira, lehena ondoz ondoko angeluak kontzepturako, eta bigarrena, izen gisa, triangelu zuzen baten angelu baten alde bat adierazteko, hipotenusa ez dena.

Euskaltzaindiak, Hiztegi Batuan, «batez beste» eta «batez besteko» idatzi behar direla esan du. Gu bat gatoz Zientzia eta teknikarako euskara liburuan ematen duten azalpenarekin. Eta horrela jokatu dugu itzulpen honetan.

Ondoren, conmensurable, commensurable, commensurable kontzeptua azaldu behar dugu. Euklidesen definizioaren arabera, eta gaur egungo idazkerarekin azalduz, bi zenbaki a eta b *co… dira c zenbaki batek biak zatitzen dituenean, bestela inco… dira. Definizioan hiru zenbaki agertzen dira, a, b eta c, hirugarrena lehenengo bien zatitzailea izanik. Adibidez, 4 eta 6 co… dira, 2 baitago eta 2k 4 eta 6 zatitzen dituelako. Baina saiatzen bagara 6 zati 4 edo 4 zati 6 egiten, ikusten dugu ezin dugula egin (zatiketa osoaz edo zehatzaz ari gara), hau da, 4k ez du 6 zatitzen, ez eta 6k 4 ere. Hori horrela izanda, Matematika Hiztegian terminoak bilatu genituenean hau aurkitu genuen: conmensurable, commensurable, commensurable* = «elkarneurgarri» eta inconmensurable, incommensurable, incommensurable = «elkarneurgaitz». Gure ustez, «elkar» jarriz gero, uler genezake «batak bestea» zatitzen (neurtzen) duela, eta alderantziz; bi oker egingo genituzke: alde batetik, a eta b zenbakien artean zatitzaile/multiplo erlazioa dagoela pentsatzea, eta, areago, aldi berean bakoitza bestearen multiplo eta zatitzaile dela pentsatzea. Hori dena kontuan izanik, guk «elkarrekin neurgarri» eta «elkarrekin neurtezin» aukeratu genituen bi kontzeptu horiek emateko.

aurkakoa izan subtender to subtend sous-tendent I, 4 p
auzokide adyacente adjoining être contre VI, 8 p
batezbesteko proportzional media proporcional mean proportional moyenne proportionnelle VI, 8 por
ekilatero equilátero equilateral équilatéral, e I, 20 d
elkarrekin neurgarri conmensurable commensurable commensurable X, 1 1d
elkarrekin neurtezin inconmensurable incommensurable incommensurable X, 1 1d
erdikari medio intermediate moyenne V, 17 d
errektangelu rectángulo oblong (rectangle) oblongue (parallélogramme rectangle) I, 22 d
majore mayor major majeure X, 39 p
minore menor minor mineure X, 76 p
mota bereko homogeneo of the same kind du même genre V, 3 d
nozio komun14 nocion común common notion notion commune I
ondoz ondoko adyacente adjacent adjacent, e I, 10 d
triangelu ekilatero triángulo equilátero equilateral triangle triangle équilatéral I, 20 d

«Erdikari» terminoak bi esanahi ditu Euskaltermen: angelu bat erditik ebakitzen duen zuzena eta proportzio batean muturren artean dauden gaiak. Baina azken kasu horretan ez du «erdikari» = medio, mean, moyenne terminoa ematen; Matematika 1 hiztegian ez da sarrera hori agertzen.

Euklidesen X. liburuan, zuzen irrazionalen sailkapena agertzen da; zuzen horien artean «majore» eta «minore» izeneko zuzenak dauzkagu. Lehenengoaren kasuan «nagusi» eman genezakeen, gainerako hizkuntzetan mayor, major, majeure ematen dutenean; baina bigarrena emateko orduan, zer ordain emango genioke menor, minor, mineure terminoari? Beste aukera bat «handia» eta «txikia» erabiltzea izan zen; guk «majore» eta «minore» terminoen alde jo genuen. Esaterako, matematika arloko serieetan, majorante eta minorante erabiltzen ditugu guk. Aitortu behar dugu hitz hau bilatzean UZEIren Matematika Hiztegia erabili genuela, eta hor «minore» agertzen dela; baina Euskaltermen bilatuta, «minor» aurkitu genuen; beraz, «major» eta «minor» jarri behar genituen.

«Homogeneo» terminoa Hiztegi Batuan dago, baina itzulpena egiteko erabili ditugun hiru bertsioetatik gaztelaniaz soilik jaso dute termino hori; guk beste bertsioei heldu diegu eta «mota bereko» itzuli.

Euskaltermen, «nozio agizko» aurkituko duzu, ez Matematika arloan, Filosofia arloko datu-basean baizik. Guk «nozio komuna» erabili dugu; aitortu behar dugu bestea ez genuela ikusi. Dena dela, ez dugu uste arazo handia sortzen duenik «komun» hitza erabiltzeak.

Euskararen normalizazio ezak sortzen digun arazo bat sinonimia da, hau da, nozio bakarra adierazteko hainbat aldaki nominatibo egotea. Taula honetan termino batzuen denominazioen aldakortasuna erakutsi nahi dugu. Lehenengo zutabean Elhuyar hiztegi elektronikoan aurkitu ditugun terminoak eman ditugu; alboan, Euskalterm datu-basean dauden aldaerak agertzen dira; ondoren, Hiztegi Batuan aurkitu ditugunak daude; laugarren zutabean Zientzia eta teknikarako euskara liburuaren egileek gomendatuak daude; bosgarrenean Euklides. Elementuak liburuan erabili ditugunak.

Elhuyar Euskalterm HB ZTE liburua Itzulpena
alde(-)berdin aldeberdin, aldekide alde-berdin, aldekide ekilatero (Goi.), aldeberdin (Beh.), aldekide (Beh.) ekilatero
angeluberdin angeluberdin angeluberdin ekiangelu (Goi.) angeluberdin (Beh.) angeluberdin
ekimultiplo
angeluzuzen angeluzuzen, errektangular, zuzen (adj.)   angeluzuzen errektangeluar (Goi.), zuzen (Goi.), angeluzuzen (Beh.)
angeluzuzen, zuzen        
lau aldeko (adj.) lau aldeko
lerrozuzen, zuzen (adj.) lerrozuzen lerrozuzen
elkarzut, zut (adj. / iz.), perpendikular (adj./iz.) perpendikular (iz.), elkarzut (adj./iz.) perpendikular, elkarzut perpendikular (Goi.), elkarzut (Beh.) perpendikular
triangeluar, triangelu-formako, hiruki-formako triangeluar triangeluar triangeluar
hiru aldeko hiru aldeko
lauki (iz.) lauki lauki koadrilatero (Goi.), lauki (Beh.) lauki
laukizuzen (iz.) laukizuzen errektangelu+, e. laukizuzen errektangelu errektangelu

Esate baterako, triangeluen aldeen araberako sailkapenean, «eskaleno» eta «isoszele» normal-normal erabiltzen ditugu; baina equilátero emateko «aldeberdin» eta «aldekide» ditugu; zein erabiliko dugu? Itzulpenean «ekilatero» denominazioaren alde egin dugu apustua. Antzeko egoeran daude «laukizuzen» eta «errektangelu» terminoak; kasu horretan «errektangelu» erabiltzea izan da gure aukera. Ezin dugu esan, ordea, irizpidea zorrozki bete dugunik; esaterako, «angeluberdin», «lauki»… ere erabili ditugu.

«Triangelu zuzen» jarri dugun bezala, «angelu zuzen», «azalera zuzen», «paralelogramo zuzen» ere erabili ditugu, denok angelu zuzenari dagozkiolako.

VII, 12 d VII, 14 d
zenbaki elkarrekiko lehenak zenbaki elkarrekiko konposatuak
números primos entre sí números compuestos entre sí
numbers prime to one another numbers composite to one another
nombres premiers entre eux nombres composés entre eux

Azkenik, «zenbaki elkarrekiko lehenak» eta «zenbaki elkarrekiko konposatuak» terminoak ditugu. Euskaltermen, «zenbaki lehen erlatiboak» eta «zenbaki konposatu» terminoak agertzen dira. Gaztelaniaz números primos entre sí, ingelesez numbers prime to one another eta frantsesez nombres premiers entre eux terminoak ditugu lehenengoari dagokionez, eta números compuestos entre sí, numbers composite to one another eta nombres composés entre eux bigarrenari dagokionez. Kasu honetan, hitzez hitzeko itzulpenari jarraituz «elkarrekiko» erabili dugu, gaur egungo «erlatiboak» erabili beharrean.

Euskalterm datu-basean ez dauden terminoak

Termino berrien zerrenda bi azpiataletan banatuko dugu. Lehenengo zerrendan daude edozein testutan ager litezkeenak eta, ondorioz, Euskaltermen ager zitezkeenak. Termino horietako batzuk ez dira Euskaltermen agertzen guk idatzi ditugun bezala; baina hitz anitzeko beste unitate lexikal batzuen barruan bai; horiek + izartxoarekin markatu ditugu.

alde anitzeko multilátera multilateral multilatère I, 19 d
alderantzizko arrazoi razón por inversión inverse ratio rapport inverse V, 13 d
antzeko+ semejante similar semblable III, 11 d
arrazoi konposatu razón compuesta ratio compounded rapport composé VI, 23 p
aurkako angelu ángulo opuesto opposite angle angle opposé I, 16 p
azalera zuzen área rectangular rectangular area aire rectangulaire X, 22 p
ekimultiplo equimúltiplo equimultiple équimultiple V, 5 d
erreferentzia-plano15 plano de referencia plane of reference plan subjacent XI, 1 p
gehiegitza+ exceso excess excès V, 15 d
gnomon16 gnomon gnomon gnomon II, 2 d
hautsi quebrada infiected brisé, e III, 20 p
hiru aldeko trilátera trilateral trilatère I, 19 d
kanpo-angelu+ ángulo externo exterior angle angle extérieur I, 16 p
lau aldeko cuadrilátera quadrilateral quadrilatère I, 19 d
paralelogramo zuzen paralelogramo rectangular rectangular parallelogram parallélogramme rectangle II, 1 d
proportzio jarraituan en proporción continua in continued proportion en proportion continue VIII, 8 p
txandakako arrazoi razón por alternancia alternate ratio rapport alterne V, 12 d
zatiketa-puntu punto de división point of division point qui divise IV, 15 por

Bigarren zerrendan, Euklidesenak baino ez diren terminoak daude.

aldi bakoitiko zenbaki bakoiti número imparmente impar odd-times odd number impairement-impair VII, 10 d
aldi bikoitiko zenbaki bakoiti número parmente impar even-times odd number pairement-impair VII, 9 d
aldi bikoitiko zenbaki bikoiti número parmente par even-times even number pairement-pair VII, 8 d
apotoma1 apótoma apotome apotomé X, 73 p
apotoma bigarrena segunda apótoma second apotome apotomé deuxième X, 2 3d
apotoma bosgarrena quinta apótoma fifth apotome apotomé cinquième X, 5 3d
apotoma hirugarrena tercera apótoma third apotome apotomé troisième X, 3 3d
apotoma laugarrena cuarta apótoma fourth apotome apotomé quatrième X, 4 3d
apotoma lehena primera apótoma first apotome apotomé première X, 1 3d
apotoma seigarrena sexta apótoma sixth apotome apotomé sixième X, 6 3d
arrazoi berdintasunez razón por igualdad ratio ex aequali rapport à égalité V, 17 d
arrazoi bikoiztu razón duplicada duplicate ratio rapport doublé V, 9 d
bimedial bigarrena segunda bimedial second bimedial bimédiale deuxième X, 38 p
bimedial lehena primera bimedial first bimedial bimédiale première X, 37 p
binomial bigarrena segunda binomial second binomial binomiale deuxième X, 2 2d
binomial bosgarrena quinta binomial fifth binomial binomiale cinquième X, 5 2d
binomial hirugarrena tercera binomial third binomial binomiale troisième X, 3 2d
binomial laugarrena cuarta binomial fourth binomial binomiale quatrième X, 4 2d
binomial lehena primera binomial first binomial binomiale première X, 1 2d
binomial seigarrena sexta binomial sixth binomial binomiale sixième X, 6 2d
etengabe proportzional continuamente proporcional continued proportion continûment en proportion VIII, 1 p
hirugarren proportzional tercera proporcional third proportional troisème proportionnelle VI, 11 p
hirugarren zenbaki proportzional número tercero proporcional third proportional number troisième nombre proportionnel IX, 18 p
laugarren proportzional cuarta proporcional fourth proportional quatrième proportionnelle VI, 12 p
medial medial medial médiale X, 21 p
medial baten apotoma bigarrena segunda apótoma de una medial second apotome of a medial apotomé deuxième d’une médiale X, 75 p
medial baten apotoma lehena primera apótoma de una medial first apotome of a medial apotomé première d’une médiale X, 74 p
porisma porisma porism porisme I, 15 oo
proportzio asaldatu proporción perturbada perturbed proportion proportion perturbée V, 18 d
proportzio bikoiztu proporción duplicada double proportion proportion double IX, 36 p
puntu angeluar punto angular angular point point XIII, 15 p

zenbaki kubiko / kubo número cubo cube number / cube nombre cube VII, 19 d
zenbaki lau número plano plane number nombre plan VII, 16 d
zenbaki solido número sólido solid number nombre solide VII, 17 d

Bi azpiatalen muga lausoa da; esaterako, «arrazoi bikoiztu», «hirugarren proportzional», «proportzio bikoiztu»… terminoek ez dirudite bereziegiak Proportzioen teorian; ezta «zenbaki kubiko», «zenbaki lau», «zenbaki solido»… ere Zenbaki-teorian.

Testuko terminoak

Azken atalean testuaren diskurtso-baldintzei egokitutako terminoak ditugu. Hona hemen horien azalpena.

«Alderantziz erlazionaturik» terminoa eman genuen gaur egun «alderantziz proportzionalak» esango genukeena adierazteko. Izan ere, Euklidesek berak bereizi zituen bi termino horiek, «erlazionatu» = antipaskho eta «proportzional» = anapalin.

«Arrazional» eta «irrazional» terminoen kasuan alderantziz jokatu genuen, eta kontraesanean erori gine horrela. Grezieraz, rhetos = «adierazgarri» eta alogos = «arrazoirik gabe» terminoak agertzen dira. Gaztelaniazko bertsioan eman zuten bezala, «arrazionalki adierazgarri» eta «arrazionalki ez-adierazgarri», edo antzekoak, eman beharko genituzkeen, eta horrela erabili testu osoan. Kasu honetan, erosotasunagatik gaztelaniazko aurreko itzulpenetan eta ingelesezkoetan erabili diren racional, rational eta irracional, irrational terminoen bidetik jo genuen, ez, ordea, zalantzarik izan gabe. Aipatzekoa da frantsesez egindako aukera, exprimable eta irrational, hurrenez hurren.

Hurrengo terminoa, «diametro», bitxia da; bi modutara erabilita agertzen da testuan. Alde batetik, zirkuluen eta zirkunferentzien kasuan, zentrotik pasatzen den korda adierazteko, eta, bestetik, paralelogramoetan, diagonala adierazteko (esan gabe handiena edo txikiena den). Guk berean utzi genuen testuinguruan ongi ulertzen zelako. Horrez gain, XI. liburuan «diagonal» terminoa erabili zuen paralelepipedoen kasurako.

alderantziz erlazionaturik inversamente relacionadas reciprocally related / proportional en relation inversée VI, 2 d
arrazional racionalmente expresable rational exprimable X, 3 1d
diametro diagonal diameter diagonale I, 34 p
diferentzia defecto defect défaut VI, 27 p
irrazional no racionalmente expresable irrational irrationnal X, 3 1d
mozte-puntu punto de sección point of section point de section II, 5 p
neurri komun handien medida común máxima greatest common measure plus grande commun mesure VII, 2 p
oso todo whole tout I, 5 nk
tartekatu caer fall tomber VIII, 8 p
triangelu elkarren angeluberdinak triángulos equiángulos equiangular triangles triangles équiangles VI, 4 p
zatiak partes parts parties VII, 4 d

Arazo handia sortu ziguten defecto, defect, défaut eta exceso, excess, excès terminoek. Bi azalera konparatzen ditugunean, txikienari handienaren berdina izateko falta zaion hori eta handienari txikienaren berdina izateko soberan geratzen zaion hori adierazteko erabili zituen Euklidesek. Horren ideia erraza izanik ere, ez genuen aurkitu esateko era errazik. Euskaltermen begiratuta, «gehiegitza» terminoa aurkitu genuen soberakoa adierazteko, eta hori erabili genuen; baina falta dena adierazteko ez genuen terminorik aurkitu (por defecto = «gutxiagozko» terminoa badago ere). Orduan, testuinguru horretan «diferentzia» terminoa egokia izan zitekeela pentsatu genuen, baita zalantza handia izan ere. Bestalde, hiru hizkuntzetan exceder, to excess, dépasser aditza erabiltzen zutenean, guk «gainditu» eta «handiagoa izan» erabili genituen; eta resultar inferior, to fall short of, être inférieur aditza erabiltzen zutenean, guk «txikiagoa izan» erabili genuen.

Buruhauste handia eman ziguten «ebaki-puntu», «erdibitze-puntu», «mozte-puntu», «ukitze-puntu» eta «zatiketa-puntu» terminoek ere. Bostek ideia antzekoa ematen dute, baina Euklidesek bereizi egin zituen. Badirudi «erdibitze-puntu» eta «ukitze-puntu» terminoak argiagoak direla: zerbait bi erditan banatzeko puntua eta ukitze-ekintza gauzatzen den puntua; baina Gainerakoek, «ebaki-puntu», «moztepuntu» eta «zatiketa-puntu», ideia bera adierazten dute. Hiru testuak alderatuz eta testuingurua kontuan hartuz aukeratu ditugu terminoak.

«Neurri komun handien» terminoaren kasuan ez genuen zalantzarik izan. Nahiz eta gaur egun «zatitzaile komunetako handien» esan, testuan zetorren medida, measure, mesure hitzen euskal ordaina (neurri) hitza erabili genuen.

Testuan «oso», todo, whole, tout eta «guztizko», total, whole, tout terminoak erabili ditugu. Ingelesezko eta frantsesezko testuetan hitz bera erabili dute. Horrek nahastera eraman gaitzake; hala ere, guk uste dugu bi adiera daudela, eta horrela erabili ditugu. «Guztizko» eragiketa baten emaitza gisa erabili dugu, eta «oso» osotasun baten ideia adierazteko.

Beste kontradibide bat da hau: «tartekatu», caer, to fall, tomber. Hitzez hitzeko itzulpenari jarraituz gero, badirudi «erori» dela ordain egokia. Zehatzagoa, grezierazko enpiptein terminoaren itzulpena «artean erori», caer entre, to fall between (in), tomber entre izango litzateke; hala ere, guk «tartekatu» aukeratu genuen argiagoa zelakoan.

Azkenaurreko terminoa «triangelu elkarren angeluberdinak», triángulos equiángulos, equiangular triangles, triangles équiangles da. Euklidesek bi ideia azaltzen ditu «angeluberdin» terminoarekin testu osoan. Alde batetik, irudi batek bere angelu guztiak berdinak dituenean, irudi «angeluberdina» dela esaten du (adibidez, triangelu ekilateroa, errektangelua…); beste aldetik, bi irudi desberdinek banan-banan angelu berdinak dituztenean, irudi «angeluberdinak» direla esaten du. Guk bi egoera horiek bereizteko asmoz, lehenengoen kasuan irudi «angeluberdina» erabili dugu, eta bigarren kasuan irudi «elkarren angeluberdinak» erabili dugu.

Azkenik, «zatiak», partes, parts, parties terminorako kalkoa erabili dugu, gainerako itzulpenetan bezala, aditza singularrean jokatuz. VII. liburuaren 3. definizioan, Euklidesek zenbaki baten azpimultiploa edo zatitzailea definitu zuen eta «zenbaki baten zatia» izena jarri zion. Liburu beraren 4. definizioan bestelako aukera definitu zuen eta «zenbaki baten zatiak» izena jarri zion. Adibidez, 4 8ren «zatia» (zatitzailea) da eta 3 8ren «zatiak» da, 3/8 zatikia unitatea baino txikiagoa izanik.

Aditzak termino gisa

Ez da ohikoa aditzak terminotzat hartzea eta datu-baseetan sartzea; aldiz, aditzetatik nominalizazioak sortzen dira eta horiei ematen zaie balio berezitua. Guk, hemen, Euklidesek erabili zituen aditz batzuk sartuko ditugu. Aditzak esanahiaren arabera multzokatu ditugu.

Mercè Lorentek (Lorente, 2002) egiten duen sailkapenaren arabera aditz diskurtsiboak, lokailu-aditzak, aditz fraseologikoak eta aditz terminologikoak aurki ditzakegu testu berezituetan. Azken biak dira gehien interesatzen zaizkigunak terminologiaren ikuspuntutik. Bi mota horiek bereizteko, aditz fraseologikoak eta aditz terminologikoak, esango dugu lehenek balio berezitua hartzen dutela sintagma-unitateetan (aditzek eta osagarriek osatutakoak, esaterako) parte hartzen dutenean; bigarrenek, ordea, jakintza-esparru honetako nozio berezitu bat adierazten dute; bestalde, balio berezitua bai aditzari bai izenari egoki dakioke. Ondoko tauletan agertzen diren aditzak hizkera orokorrean erabiltzen dira, eta Matematika esparruko terminoak dira mugapen semantikoaren bidez.

Hasteko, taula honetako aditz guztiek bi zuzenen arteko, zuzen baten eta kurba baten arteko edo bi kurben arteko posizioak edo ekintzak adierazten dituzte. Izan ere, «ebaki», «erori», «moztu», «zatitu» aditzek, geometrian, nozio bera adierazten dutela uler dezakegu: lerro batek beste lerro batekin topo egiten duenean, lehenengoak bestea «ebaki», «moztu», «zatitu» egiten du, edo bestearen gainean «erori» egiten da; beraz, gurutzagune baten ideia dago atzean. Bestalde, «desbideratu» eta «kendu» terminoen kasuak katearen bi muturretan daude, aurreko ideiatik urrun. Horiek zerrenda honetan kokatu ditugu ingelesezko to fall awry eta to cut off terminoak agertu direlako.

desbideratu desviarse to fall awry écarter III, 24 p
ebaki incidir to fall upon tomber I, 30 p
ebaki cortar to cut off découper III, 9 d
ebaki incidir to fall on tomber I, 5 po
ebaki cortar to cut couper I, 15 p
elkar ebaki cortarse entre sí to cut one another entrecouper I, 1 p
erori caer to fall tomber III, 2 p
erori caer to fall upon mener I, 15 d
ez-moztu no cortada uncut non-segmenté/e II, 1 p
ez-zatitu no dividida uncut non segmenté/e VI, 10 p
kendu quitar to subtract retrancher I, 3 nk
kendu quitar to cut off retrancher I, 3 p
moztu cortar to cut into couper II, 1 p
moztu cortar to cut couper II, 2 p
moztu cortar to cut in couper VI, 3 d
moztu cortar to cut off découper I, 18 d
topo egin17 encontrarse to meet construire I, 21 p
ukitu17 ser tangente to touch rencontrer III, 2 d
zatitu dividir to divide into diviser V, 1 p
zatitu dividir to cut couper VI, 10 p

Aurreko zerrendan, oinarrizko ideia irudi geometriko bat egitea da: batzuetan zuzenean baldintza batzuk betearaziz, «eraiki», «egin»; beste batzuetan datuak emanik, «batu», «lotu» edo «marraztu».

altxatu18 levantar to construct construire I, 7 p
batu sumar to add together composer X, 36 p
batu unir to add together composer XIII, 9 p
egin describir to describe décrire I, 1 p
egin hacer to contrive faire X, 10 p

eraiki construir to construct construire I, 1 p
eraiki construir to describe décrire X, 6 por
eraiki construir to form out former XI, 36 p
lotu unir to join joindre I, 33 p
marraztu trazar to describe décrire I, 46 p
marraztu trazar to join joindre I, 1 p
marraztu trazar to draw mener I, 17 d

Beste kasu honetan, ordea, irudi geometrikoa ekintza baten ondorioa da, «atera», «sortu», «luzatu»; edo beste irudi geometriko batzuek osatzen dute, «eratu», «inguratu», «konposatu».

atera resultar to result produire X, 16 l
atera resultar to arise engendrer X, 71 p
atera resultar+ to produce produire+ VII, 15 d
eratu comprender to contain contenir I, 9 d
eratu formar to make produire I, 13 p
eratu contener to contain contenir I, 14 d
eratutako comprendida comprehended comprise XI, 14 d
inguratu envolver to comprehend circonscrire XIII, 13 p
konposatu componer to make up composer II, 6 p
luzatu prolongar to produce prolonger I, 16 p
luzatu prolongar to draw through conduire III, 1 p
luzatu prolongar to carry through conduire III, 10 p
sortu producir to make produire XI, 5 p
sortu producir to produce produire X, 20 p

Gaztelaniazko guardar eta ingelesezko to have eta frantsesezko avoir terminoek ez dute elkarren antzik; beraz, nola eman euskaraz? Guk «ukan» aditzaren alde egin genuen; izan ere, «arrazoi» terminoa «erlazio, harreman» terminoekin parekatu genuen, eta hortik gure erabakia.

arrazoi bat ukan guardar razón to have a ratio avoir un rapport V, 4 d

Ondoko adibidean ikus daiteke nola eman euskaraz gaztelaniazko exceder en, exceso, ingelesezko to be in excess, excess eta frantsesezko dépasser, excès terminoen ordaina, eta gaztelaniazko ser deficiente en, defecto, ingelesezko to be deficient by, defect eta frantsesezko par défaut de, défaut terminoekin berdin.

gainditu exceder to be in excess dépasser V, 5 d
-e(t)an handiagoa izan exceder en exceeding by par excès de VI, 29 p
... kentzen dion... ... en la que... es mayor that... by which... is greater que ce dont... est plus grand que... à cela... XI, 23 p
txikiagoa izan resultar inferior to fall short être inférieur V, 5 d
txikiagoa izan ser menor to be less être inférieur V, 4 p
txikiagoa izan ser menor to be less être plus petit/e V, 8 p
-e(t)an txikiagoa izan deficiente en deficient by par défaut de VI, 27 p

Geometrian, bi irudi konparatzeko, bata bestearen gainera eramaten da; horregatik erabili dugu «gainezarri» aditza, «aplikatu» erabili beharrean.

gainezarri aplicar to apply appliquer I, 4 p

Bukatzeko, ikusi zer gertatzen den hainbat hizkuntzatan sinonimia eta polisemia konparatzen ditugunean. Honek nozioen unibertsaltasuna zalantzan jartzen du. Ondoko taulako terminoak kateatuz gero, oker batera hel genezake. Gaztelaniazko adjuntar eta añadir sinonimotzat hartzen baditugu, euskaraz bi kasuetan «erantsi» eman dezakegu. Baina, ingelesez, to annex eta to add eta, frantsesez, ajuster ordainak aurkitu ditugu. Eta to annex horietako baten gaztelaniazko ordaina adaptar da; eta horri euskaraz ez dagokio «erantsi», «egokitu» baizik. Ikusten denez, katearen muturrak elkarrengandik urruntzen dira.

egokitu adaptar to fit into ajuster IV, 7 d
erantsi adjuntar to annex ajuster X, 79 p
erantsi adaptar to annex ajuster X, 83 p
erantsi añadir to add ajouter I, 13 p

Atal honekin bukatzeko esan liburuan erabilitako terminoak bost ataletan banatu ditugula: Euskalterm datu-base terminologikoarekin bat datozenak (120); datu-basean daudenak baina aldatu genituenak (35); testuan agertzen diren bezalaxe datu-basean ez daudenak (52); testuari egokitu genizkionak, eta, beraz, testu honen diskurtso-baldintzei dagozkienak (11); eta, azkenik, aditz terminologikoen zerrendan sartu ditugunak (27).

Diskurtso matematikoa

Greziarren matematikaren eta babiloniarren-mesopotamiarren eta egiptoarren matematikaren artean diferentzia bat badago, hori lehenengoen alderdi teorikoa eta bigarrenen alderdi praktikoa da. Tales (c. K.a. 640-546) baino lehenagotik hasi ziren lantzen matematikaren alderdi teorikoa filosofo greziarrak, eta horrekin batera diskurtso logikoa: definizioak, teoremak, frogabideak… Baina Aristoteles (K. a. 384-322) izan zen diskurtso zientifikoa zertan datzan esan zuena, diskurtso zientifikoaren antolaketa finkatu zuena. Esan genezake Aristotelesek ezarri zituela genero zientifikoaren baldintzak (Arrieta, 2005):

«Gertakari baten gainean edo egia batez pertsona bat konbentzitu nahi dugunean estrategia desberdinei hel diezaiekegu. Alabaina, arrazoimenak agintzen digu argudiatzea dela estrategiarik egokiena. Grezian, K.a. III. mendean, argudiatzeko era desberdinei buruzko gogoetak abian jarri ziren. Hau da, argudiatzeaz gain, argudiatzeari berari buruzko teoriak lehenengo aldiz plazaratu ziren. Eta frogatzea, azken buruan, argudiatzeko modu bat da, eta, bidenabar, besteak konbentzitzeko baliabide bat. (…) Alde batetik, esan bezala, filosofian eta dialektikan interes nabarmena zegoen besteak konbentzitzeko estrategietan, eztabaidetan jendea trebatzeko metodoetan eta argudiatzeari buruzko teorietan. Testuinguru horretan koka daiteke, esaterako, logikaren (zuzen argudiatzeari buruzko teoriaren) sorrera.»

Aristotelesek Matematika bigarren maila batean utzi zuen; Euklidesek, aldiz, (c. K. a. 300) Matematika arloan gauzatu zuen Aristotelesen teoria, eta azpigenero matematikoa Euklidesen Elementuak lanetik sortu zela esan dezakegu. Izan ere, Euklidesen liburua diskurtso matematikoaren paradigma izan da 2.300 urtean. Kontuan izan behar dugu horren eraginez, alde batetik, aurreko testuak galdu egin zirela, eta bestetik, handik aurrera estilo hori erabili dela testu matematikoetan. Liburua hasteko, Aristotelesi jarraiki, Euklidesek kontzeptuen definizioak eman zituen; ondoren, denok onartzen bide ditugun eta, beraz, frogarik behar ez duten ideiak azaldu zituen, postulatuak Geometria arloan eta nozio komunak oro har; azkenik, proposizioak eman zituen, hau da, frogatu beharreko emaitzak. Froga horiek ere beren antolakuntza berezia zuten:

  1. enuntziatua: problemetan, eraiki behar den objektua edo, teoremetan, ezarri behar den ezaugarria proposatzen da.
  2. azalpena: enuntziatua kasu batean zehazten da eta hizkiak erabiltzen dira elementuak izendatzeko.
  3. zehaztapena: frogaren helburua agertu kasuari egokitzen zaio, problemetan «… egin behar da» errutinarekin eta, teoremetan, «Nik diot ezen …» errutinarekin.
  4. prestatzea: frogarako behar diren objektuak edo erlazioak sortzen dira emandako datuetatik.
  5. froga: dedukzio-kate bat da, definizio, postulatu edo nozio komunak zein aurreko emaitzak erabiltzen dituena.
  6. ondorioa: baieztatzen da objektua eraiki dela, problemen kasuan, eta ezaugarria ezarri dela, teoremen kasuan.

Urrats guztiak beti erabiltzen ez badira ere, hiru hauek ezin dira falta: enuntziatua, froga eta ondorioa.

Euklidesen testua irakurtzen duen edonor berehala jabetuko da Euklidesen estilo zorrotza (akatsak baditu ere), hotza, argudio linealekoa, terminologiaz betea, antolaketa eraikitzailea (oinarritik emaitza konplexuetara)… Esan dezakegu goi mailako erregistroa erabili zuela; hain zuzen, bera irakaslea izan zen Alexandriako Museoan eta Matematikan interesa zutenei irakasten zien. Esan behar dugu, hala ere, Euklidesen lana oso didaktikoa izan zela, berak erakutsi baitzien ondorengo matematikariei nola idatzi behar ziren testu matematikoak. Esan ohi da Euklides, irakaslea izanik, testu-egilea izan zela, eta bere helburuetako bat orduko Matematika antolatzea izan zela; horren aldean, Arkimedes ikertzailearen prototipoa izan zen.

Atal honetan, diskurtso matematikoaren egiturarekin lotutako zenbait hizkuntza-elementu deskribatu nahi ditugu; testuan zehar maiz agertzen dira, diskurtso-antolatzaileak dira. Erabileraren arabera multzokatu ditugu hizkuntza-elementu horiek.

Lehenengo multzo honetan, ondorio, finkapen eta birformulazioaren diskurtso-eginkizuna duten lokailuak agertzen dira. Aipatzekoa da «orduan» lokailuaren kasua. Euskarazko baldintzazko esaldietan, aditzari «ba-» aurrizkia jartzen badiogu eta ondorioaren aditzean etorkizuneko «-ko» atzizkia jartzen badugu, esaldiaren bi zatien artean ez dugu «orduan» lokailuaren beharra, bereziki esaldia ez bada oso luzea. Baina liburu honetan esaldi luzeak eta oso luzeak agertzen dira; horregatik, eta horien kasuan bakarrik, baldintza eta ondorioa lotzeko «orduan» partikula erabili dugu. Hizkuntza-elementu hauek prestatzea eta froga ataletan erabiltzen dira bereziki, bi horietan ondorioztatzen baitira tarteko eta bukaerako emaitzak.

bada así pues thus alors I, 1 p
bada así pues therefore donc X, 61 p
bada así que therefore donc I, 5 p
bada pues for en effet I, 4 p
bada pues bien then or I, 23 p
beraz luego therefore donc I, 1 p
hortaz por tanto therefore donc I, 1 p
hortaz de modo que hence de sorte que I, 4 p
hortaz de modo que so that de sorte que I, 3 p
ondorioz por consiguiente therefore donc I, 1 p
ondorioztatu seguir to follow ensuivre (s') V, 25 p
ondorioztatu seguir to infer ensuivre (s') XIII, 16 p
ondorioztatu concluir to conclude prendre en considération X, 62 p
orduan entonces therefore ainsi I, 5 p
orduan entonces then or I, 2 p
hain zuzen precisamente that is ce qui est X, 26 p
hain zuzen en efecto   d'une part VII, 2 p
hots a saber namely c'est à dire I, 4 p
hau da es decir that is d'une part... d'autre part... I, 4 p
hau da esto es so that d'une part... d'autre part... VI, 5 p

Ondoko taulan, testuan ematen diren aginduak nola bete behar diren edo zein baldintzatan egin behar diren azaltzeko hizkuntza-elementuak agertuko dira. Hizkuntza-elementu hauek enuntziatua, azalpena, prestatzea eta froga ataletan erabiltzen dira, enuntziatuan eta azalpenean zer eskatzen den azaltzen delako, eta prestatzea eta froga ataletan baldintzak betetzea lortzen delako.

halako moldez non ... -n de manera que so that de telle sorte que II, 11 p
izateko moduan de modo que so as de manière à X, 13 l
izateko moduan de modo que such that de sorte que X, 88 p
izateko moduan de modo que so that de sorte que X, 42 p
egin bedi... izan dadin hágase de forma que... let it be contrived that... qu'il soit fait que... X, 10 p

Badago beste errutina bat, matematikaren elementuak aurkezteko erabiltzen dena. Hizkuntza-elementu hauek azalpena, prestatzea eta froga ataletan erabiltzen dira, hiru ataletan erabiliko diren matematikaren elementuak aurkezteko.

Izan bedi Sea Let ... be Soit I, 1 p
Egin bedi Descríbase let ... be described Que ... soit décrit I, 1 p
Marraz bedi Trácese let ... be joined que soit jointe I, 2 p
Jar bedi Colóquese let ... be placed Que soit placée I, 3 p

Azkenik, Euklidesek erabiltzen zituen, baina gaur egun erabiltzen ez diren, bi esamolderen ordainak ekarriko ditugu hona. Zehaztapena atalean erabiltzen zituen eta frogaren helburua agertzen zuen, problemetan «… egin behar da» esamoldearekin eta teoremetan «Nik diot ezen …» esamoldearekin.

... eraiki behar da... Hay que construir... Thus it is required to construct... Il faut alors construire... I, 1 p
Nik diot ezen ... dela Digo que... I say that... Je dis que... I, 4 p

Fraseologia

Atal honetara Elementuak lanaren itzulpenean erabili ditugun esamoldeen adibideak baino ez dakartzagu. Oro har, aurreko ataletan agertu diren terminoekin eta hizkuntza-elementuekin lotuta daude. Ikusiko dugu nola eman daitekeen ideia bera hainbat eratan, eta zenbat kasu desberdinetan erabil daitekeen ideia bera. Adibideetan, esaldiak testuan dauden bezala eta lau hizkuntzatan idatziko ditugu, alderatzeko. Aurrekoetan bezala, eskuinean esaldia agertzen den liburua jarri dugu. Bestalde, esaldiak ideia edo kontzeptu baten inguruan multzokatu ditugu.

Ohartxo pare bat: esaldietan agertzen diren letra larriak matematikaren elementuak edo irudiak adierazteko erabili zituen Euklidesek; jakina, berak grezieraz idatzi zituen. Gaztelaniazko bertsioan grezierazko letrak erabili dituzte; beste hiru bertsioetan, ordea, latinekoak erabili ditugu. Dena dela, hemen lau hizkuntzetako adibideetan latinezko letrak erabili ditugu, irakurleari lana errazteko asmoz. Bestalde, frantsesezko itzulpenean latinezko letrak erabili dituzte, baina ez datoz bat gainerako itzulpenetan erabilitako letra larriekin; guk lau hizkuntzetan letra berak erabili ditugu.

Lehenengo multzo honetan «ortogonal, paralelo, perpendikular» terminoekin erabili ditugun esamoldeak erakutsiko ditugu. Termino hauek bi eratan erabili ditugu testuan esaldiak eratzeko, «-(r)ekiko» eta «-(r)en» atzizkiekin. Gure ustez, «-(r)en» atzizkiarekin lehentasuna ematen diogu galdera honi: Zeinen paraleloa da? «-(r)ekiko» atzizkiarekin, berriz, galdera honi erantzungo diogu: Nola dago kokatuta?

Digo que ha sido trazada la recta CH perpendicular a la recta infinita dada AB desde el punto dado C que no está en ella I, 12 p
I say that CH has been drawn perpendicular to the given infinite stright line AB from the given point C which is not on it.
Je dis que la droite CH a été menée perpendiculaire a la droite indéfinie AB donnée, a partir du point donné C qui n'est pas sur celle-ci.
Nik diot ezen CH izan dela marraztua era perpendikularrean emandako AB zuzen infinituarekiko, horretan ez dagoen C puntu jakin batetik.

..., entonces EAF es paralela a BC. I, 31 p
..., therefore EAF is parallel to BC.
..., EAF est donc parallèle à BC.
... dituenez, EAF BCren paraleloa da.

Pues trácese por el (punto) C, CE paralela a DA... VI, 3 p
For let CE be drawn trhough C parallel to DA...
En effet, que par C soit menée CE, parallèle à DA...
Bada, marraz bedi C puntutik DAren paraleloa den CE...

Ahora bien, dado que AC ha sido trazada paralela a uno (de los lados), FE, del triángulo FBE,... VI, 4 p
And, since AC has been drawn parallel to FE, one side of the triangle FBE,...
Et puisque AC a été menée parallèle a l'un des (côtés) FE du triangle FBE,...
Baina, FBE triangeluaren FE aldeetako baten paraleloa den AC marraztua izan denez,...

Una recta es ortogonal a un plano... XI, 3 d
A stright line is at right angles to a plane...
Une droite est à angles droits relativement à un plan...
Zuzen bat ortogonala da plano batekiko...

Kasu honetan bi proportzio konparatzen dira. Esaldi sinple batean «nolako», «halako» esamoldea primeran dator, baina menpeko perpausetan ez da erabilgarria. Horregatik erabili ditugu «bezalakoa denean», «bezalakoa dela», «bezalakoa denez»…

... cuando, ..., sucede que como la primera es a la ultima -entre las primeras magnitudes-, así -entre las segundas magnitudes- la primera es a la última; V, 17 d
... when, ..., as the first is to the last among the first magnitudes, so is the first to the last among the second magnitudes;
... quand, ..., comme la première est relativament a la dernière dans les premières grandeurs, ainsi est la première relativement à la dernière dans les deuxièmes grandeurs;
..., lehenengo magnitudeen artean lehenengoa azkenarekiko den bezalakoa denean lehenengoa azkenarekiko bigarren magnitudeen artean.

Digo que como E es a G, así F es a H. V, 4 p
I say that, as E is to G, so is F to H.
Je dis que comme E est relativement à G, ainsi est F relativement à H.
Nik diot ezen E Grekiko den bezalakoa dela F Hrekiko.

Ahora bien, puesto que A es a B como C a D,... V, 4 p
And, since, as A is to B, so is C to D,...
Et puisque, comme A est relativement à B ainsi est C relativement à D,...
Baina A Brekiko den bezalakoa denez C Drekiko,...

por tanto como E es a G, así F a H. V, 4 p
therefore, as E is to G, so is F to H.
donc comme E est relativement à G, ainsi est F relativement à H.
hortaz, E Grekiko nolako, halako da F Hrekiko.

Pues, como A es a B sea así C a D,... V, 11 p
For, as A is to B, so let C be to D,...
En effet, que, comme A (est) relativement à B, ainsi soit C relativement à D,...
Bada, izan bedi C Drekiko A Brekiko den bezalakoa,...

Digo que también el resto EB es al resto FD como el todo AB es al todo CD. VII, 11 p
I say that the remainder EB is also to the remainder FD as the whole AB to the whole CD.
Je dis que le reste EB est aussi relativement au reste FD comme le tout AB relativement au tout CD.
Nik diot ezen EB hondarra ere badela FD hondarrarekiko AB osoa CD osoarekiko den bezalakoa.

..., como el primero es al segundo, el segundo no será a ningún otro. IX, 16 p
..., the second will not be to any other number as the first is to the second.
..., ce ne sera pas le cas que comme le premier est relativament au deuxième, ainsi soit le deuxième relativement à quelqu'autre (nombre).
..., bigarrena ez da izango beste ezein zenbakirekiko lehenengoa bigarrenarekiko den bezala+.

Los círculos son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros. XII, 2 p
Circles are to one another as the squares on the diamteters.
Les cercles sont l'un relativement a l'autre comme les carrés sur leurs diamètres.
Zirkuluak beren diametroen karratuak bezalakoak dira elkarrekiko.

Kasu honetan, bi magnituderen artean dagoen erlazioa agertzen zaigu; horrez gain, erlazio hori beste bi magnituderen artekoarekin konparatzen da. Bi magnituderen artean, «-(r)ekin» atzizkia erabili dut, «-(r)ekiko» erabili beharrean. Bestalde, esaldia korapilatzen zenean, eta laburtzeko asmoz, «alde korrespondenteen arrazoi bikoiztua» erabili dugu «alde korrespondenteek elkarrekin duten arrazoiaren arrazoi bikoiztua» erabili beharrean.

Se dicen que guardan razón entre sí las magnitudes que,... V, 4 d
Magnitudes are said to have a ratio to one another...
Des grandeurs sont dites avoir un rapport l'une relativement à l'autre...
Magnitudeek elkarrekin arrazoi bat dutela esaten da,...

Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta,... V, 5 d
Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth,...
Des grandeurs sont dites être dans le même rapport, une première relativement à une deuxième et une troisième relativement à une quatrième...
Esaten da lehenengo magnitude batek bigarren batekin hirugarren batek laugarren batekin duen arrazoi bera duela,...

..., entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta. V, 7 d
..., then the first is said to have a greater ratio to the second than the third has to the fourth.
..., alors la première (grandeur) est dite avoir un plus grand rapport relativement à la deuxième que celui de la troisième relativement à la quatrième.
... duenean, lehenengoak bigarrenarekin hirugarrenak laugarrenarekin baino arrazoi handiagoa duela esaten da.

Los paralelogramos equiángulos guardan entre sí la razón compuesta de (las razones) de sus lados. VI, 23 p
Equiangular parallelograms have to one another the ratio compounded of the ratios of their sides.
Les parallèlogrammes équiangles ont, l'un relativement a l'autre, le rapport composé à partir (de ceux) des côttés.
Paralelogramo elkarren angeluberdinek beren aldeen arrazoien arrazoi konposatua dute elkarrekin.

Los triángulos semejantes guardan entre sí la razón duplicada de sus lados correspondientes. VI, 19 p
Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides.
Les triangles sembables sont l'un relativement a l'autre dans le rapport dublé (de celui) des côtés homologues.
Triangelu antzekoek elkarrekin dute alde korrespondenteen arrazoi bikoiztua.

Digo que el triágulo ABC guarda con el triángulo DEF una razón duplicada de la que (guarda) BC con EF. VI, 19 p
I say that the triangle ABC has to the triangle DEF a ratio duplicate of that which BC has to EF.
Je dis que le triangle ABC a relativement au triangle DEF un rapport doublé de celui de BC relativement à EF.
Nik diot ezen ABC triangeluak DEF triangeluarekin duela BCk EFrekin duenaren arrazoi bikoiztua.

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón... VI, 3 d
A stright line is said to have been cut in extreme and mean ratio...
Une droite est dite être coupée en extrême et moyenne raison...
Esaten da zuzen bat muturreko eta batez besteko arrazoian moztua izan dela...

Digo además que también son los menores en las razones AB, CD, EF. VIII, 4 p
I say next that they are the least that are in the ratios A:B, C:D, E:F+.
Je dis de plus qu'ils sont aussi les plus petits dans les rapports AB, CD, EF.
Nik diot, gainera, ezen txikienak ere direla AB, CD, EF arrazoietan.

luego C, D, E y F, G, H, K son proporcionales en la razón de A a B. VIII, 2 p
therefore C, D, E, and F, G, H, K are proportional in the ratio of A to B.
donc C, D, E et F, G, H, K sont en proportion (continue) dans le rapport de A relativement à B.
beraz, C, D, E eta F, G, H, K proportzionalak dira Ak Brekin duen arrazoian.

Si entre dos números caen números en proporción continua (con ellos),... VIII, 8 p
If between two numbers there fall numbers in continued proportion with them,...
Si des nombres tombent en proportion continue entre deux nombres,...
Bi zenbakiren artean zenbakiak tartekatzen badira haiekin proportzio jarraituan.

Hona, banatzaileen zenbait adibide ekarriko ditugu. Esaldi bakunetan arazo handirik ez dago, baina zerbait eransten dugunean esaldi mota honen egitura oztopo bihur daiteke. Esaterako, bigarren kasuan «Eren berdinak» eransten dugunean, non erantsi da galdera. Gaztelaniazko esaldian ikus dezakegu lehenengo zatian aurretik doala, eta bigarrenean bukaeran. Guk bukaeran kokatu dugu bi ataletan.

cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas. V, 1 p
whatever multiple one of the magtitudes is of one, that multiple also will all be of all.
le multiple que l'une des grandeurs est de l'une (des autres), ce même multiple toutes le seront aussi de toutes.
zenbat aldiz den bat beste baten multiplo, hainbat aldiz izango dira guztiak guztien multiplo.

Si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta,... V, 2 p
If a first magnitude be the same multiple of a second magnitude that a third is of a fourth,...
Si une première et une troisième (grandeurs) sont (respectivement) équimultiples d'une deuxième et d'une quatrième,...
Lehenengo magnitude bat bigarren baten multiploa bada, hirugarren bat laugarren batena den multiplo bera,...

cuantas magnitudes iguales a E hay en AB, tantas hay también en CD iguales a F. V, 1 p
as many magnitudes as there are in AB equal to E, so many also are there in CD equal to F.
autant donc il y a dans AB de grandeurs égales à E, autant il y en a aussi dans CD égales à F.
zenbat magnitude dauden ABn Eren berdinak, hainbat daude CDn ere Fren berdinak.

Oraingoan, esaldi bakunari «Cren» erantsi diogu bi ataletan; banatzaile bakoitzaren aurrean erantsi dugu; bukaeran jartzeko aukera ere aztertu genuen, honela: «Crenak»; baina lehenengoaren alde jo genuen.

entonces, cuantas partes de C hay en AB, tantas partes de F hay también en DE. VII, 6 p
therefore, as many parts of C as there are in AB, so many parts of F are there also in DE.
autant donc il y a de parties de C dans AB, autant il y a aussi de parties de F dans DE.
orduan, Cren zenbat zatiak dauden ABn, Fren hainbat zatiak daude ere DEn.

Pues cuantas veces C mide a A, tantas unidades habrá en E. VII, 21 p
Now, as many times as C measures A, so many units let there be in E.
Alors qu'autant de fois que C mesure A, autant il y ait d'unités dans E.
Bada, zenbat aldiz neurtzen duen Ck A, hainbat unitate egon bitez E zenbakian.

Pues cuantos números son en cantidad A, B, C, D tómense tantos números E, HK, L, M en proporción duplicada a partir de E; IX, 36 p
For, however many A, B, C, D are in multitude, let so many E, HK, L, M be taken in double proportion beginninng from E;
En effet, qu'à partir de E soient pris autant de nombres en proportion double qu'il y en a dans la multitude des A, B, C, D: (soit) E, HK, L, M;
Bada, zenbat den A, B, C, D zenbakien kopurua, har bitez beste hainbat zenbaki E, HK, L, M proportzio bikoiztuan Etik hasita;

por cuantos números primos sea medido el ultimo, por los mismos será medido también el siguiente a la unidad. IX, 12 p
by however many prime numbers the last is measured, the next to the unit will also be measured by the same.
les nombres premiers par lesquels est mesuré le dernier, (sont) ceux-là mêmes par lesquels sera aussi mesuré celui qui suit l'unité.
zer zenbaki lehenek neurtua den azkena, zenbaki berek neurtua izango da unitatearen hurrengoa ere.

entonces la unidad E mide al número A el mismo número de veces que B a C. VII, 16 p
therefore the unit E measures A the same number of times that B measures C.
L'unité E mesure donc le nombre A autant de fois que B (mesure) C.
orduan, E unitateak A zenbakia neurtzen du Bk C neurtzen duen adina aldiz.

..., entonces A mide a D según las unidades de B. VII, 16 p
..., therefore A measures D according to the units in B.
..., (le nombre) A mesure donc D selon les unités qu'il y a dans B.
... duenez, Ak D neurtzen du Bren unitateen arabera.

Luego en aquello en lo que los (cuadrados) de AC, CB difieren de los (cuadrados) de AD, DB, en eso difieren también el doble del (rectángulo comprendido) por AD, DB del doble del (rectángulo comprendido) por AC, CB,... X, 42 p
Therefore that by which the squares on AC, CB differ from the squares on AD, DB is also that by which twice the rectangle AD, DB differs from twice the rectangle AC, CB,...
Donc de ce dont diffèrent les (carrés) sur AC, CB de ceux sur AD, DB, de ceci diffère aussi deux fois le (rectangle contenu) par AD, DB de deux fois celui (contenu) par AC, CB...
Beraz, zertan diren desberdinak AC, CB zuzenen karratuak AD, DB zuzenen karratuetatik, horretan ere da desberdina AD, DB zuzenek eratutako errektangeluaren bikoitza AC, CB zuzenek eratutako laukizuzenaren bikoitzetik;...+

Pero en el (plano) en que está el triángulo ECB, en ese está también cada una de las rectas EC, EB; XI, 2 p
But, in whatever plane the triangle ECB is, in that plane also is each of the straight lines EC, EB;
Or dans celui où est le triangle ECB, dans celui-ci aussi (est) chacune des EC, EB;
Baina, zein planotan dagoen ECB triangelua, plano horretan dago EC, EB zuzenetako bakoitza ere;

Hurrengo adibideetan erakutsi nahi dugu defecto, defect, défaut eta exceso, excess, excès terminoek sortu dizkiguten arazoak. Horiekin batera dagozkien aditzak sartuko ditugu: gaztelaniazko ser deficiente en, ingelesezko to be deficient by, eta frantsesezko être inférieur eta exceder, to excess, dépasser. Irtenbidea ez da erraza izan eta aukera desberdinekin jokatu dugu: «gainditu», «-e(t)an handiagoa izan», «gehiegitza», «kentzen dion», «diferentzia», «txikiagoa izan». Beti ere, testuinguru berdinetan termino bera erabiltzen saiatu gara.

Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilinea dada y que exceda en una figura paralelograma semejante a una dada. VI, 29 p
To a given stright line to apply a parallelogram equal to a given rectilineal figure and exceeding by a parallelogrammic figure similar to a given one.
Sur una droite donnée, appliquer un parallélogramme égal à une (figure) rectiligne donnée par excès d'une figure parallélogrammique semblable a une (figure parallélogrammique) donnée.
Gainezarri emandako zuzen bati emandako irudi lerrozuzen baten berdina den paralelogramo bat, eta emandako baten antzekoa den irudi paralelogramiko batean handiagoa dena.

Constrúyase entonces KLMN igual al exceso por el que GB es mayor que C y semejante y situada de manera semejante a D. VI, 28 p
Let KLMN be constructed at once equal to the excess by which GB is greater than C and similar and similarly situated to D.
Alors que soit construite une même (figure), KLMN, qui soit a la fois égale à cet excès par lequel GB est plus grand que C, semblable à D et semblablement placée.
Eraiki bedi KLMN, aldi berean, GB C baino handiagoa den gehiegitzaren berdina dena, eta Dren antzekoa izanik eta antzeko eran kokatuta egonik.

De todos los paralelogramos aplicados a una misma recta y deficientes en figuras paralelogramas semejantes y situadas de manera semejante al construido a partir de la mitad de la recta, el (paralelogramo) mayor es el que es aplicado a la mitad de la recta y es semejante al defecto. VI, 27 p
Of all the parallelograms applied to the same stright line and deficient by parallelogrammic figures similar and similarly situated to that described on the half of the stright line, that parallelogram is greatest which is applied to the half of the stright line and is similar to the defect.
Parmi tous les parallélogrammes appliqués sur la même droite par défaut de figures parallélogrammiques semblables à celle décrite sur la moitié (de la droite) et semblablement placées, le plus grand est le {parallélogramme} qui est appliqué sur la moitié en étant semblable au défaut.
Zuzen berari gainezarritako paralelogramo guztietatik, eta zuzenaren erditik eraikitakoaren antzekoak diren eta antzeko eran kokatuta dauden paralelogramoetan txikiagoak direnetatik, zuzenaren erdiari gainezarritakoa eta diferentziaren antzekoa dena da handiena.

y sea el cuadrado de OR igual al (área) en la que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LO; XI, 23 p
and let the square on OR be equal to that area by which the square on AB is greater than the square on LO;
et que ce dont le carré sur AB est plus grand que celui sur LO a cela soit ègal celui sur OR;
eta izan bedi ORren karratua ABren karratuak LOren karratuari kentzen dion azaleraren berdina;

Un (área) medial no excede a otra medial en un (área) expresable. X, 26 p
A medial area does not exceed a medial area by a rational area.
Un (aire) médiale ne dépasse pas une (aire) médiale par une (aire) exprimable.
Azalera medial bat ez da beste azalera medial bat baino handiagoa azalera arrazional batean.

... hallar en cuánto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor. X, 13 l
..., to find by what square the square on the greater is greater than the square on the less.
... trouver par quoi la plus grande est, en puissance, plus grande que la plus petite.
..., aurkitu zenbat handiagoa den handienaren karratua txikienaren karratua baino.

..., cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta... V, 5 d
..., when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and the fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples...
... quand des équimultiples de la première et de la troisième ou simultanément dépassent, ou sont simultanément égaux ou simultanément inférieurs à des équimultiples de la deuxième et de la quatrième...
... lehenengoaren eta hirugarrenaren edozein ekimultiplok bigarrenaren eta laugarrenaren edozein ekimultiplo batera gainditzen dutenean, batera berdinak direnean edo batera txikiagoak direnean,...

Pues el cuadrado de AE es mayor que el de EB o bien en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con (AE) o en el de una inconmensurable con ella. X, 66 p
For the square on AE is greater than the square on EB either by the square on a stright line commensurable with AE or by the square on a stright line incommensurable with it.
En effet AE est, en puissance, plus grande que EB soit par un (carré) sur une (droite) commensurable, soit par celui sur une (droite) incommensurable avec elle-même.
Bada, AEren karratua EBrena baino handiagoa da berekin neurgarria den edo harekin neurtezina den zuzen baten karratuan.

Y como aquello en lo que exceden los (cuadrados) de AD, DB al doble del (rectánulo comprendido) por AD, DB en eso exceden también los (cuadrados) de AC, CB al doble del (rectánulo comprendido) por AC, CB,... X, 79 p
Now, since the excess of the squares on AD, DB over twice the rectangle AD, DB is also the excess of the squares on AC, CB over twice the rectangle AC, CB,...
Et puisque ce par quoi les (carrés) sur AD, DB dépassent deux fois le (rectangle contenu) par AD, DB, par ceci aussi les (carrés) sur AC, CB dépassent deux fois le (rectangle contenu) par AC, CB...
Eta, zenbat handiagoak diren AD, DB zuzenen karratuak AD, DB zuzenek eratutako errektangeluaren bikoitza baino, hainbat handiagoak direnez ere AC, CB zuzenen karratuak AC, CB zuzenek eratutako laukizuzenaren bikoitza baino,...+

Hamargarren liburuan agertzen diren «elkarrekin neurgarriak» eta «elkarrekin neurtezinak» terminoak nola erabili ditugun ikusiko dugu. Hemen «luzeran» eta «neurgarri / neurtezin» terminoak batera eramaten saiatu gara, eta «-(r)ekin» atzizkia daraman hitza lekuz aldatu dugu esaldiaren arabera. Kasu batzuetan «elkarrekin» hitza sartu behar genuen; orduan, aurreko bien artean sartu dugu beti, «elkarrekin neurgarriak / neurtezinak» unitate fraseologiko berezitutzat hartuta.

Pues como A es conmensurable en longitud con B,... X, 9 p
For, since A is commensurble in length with B,...
En effet puisque A est commensurable en longueur avec B,...
Bada, A luzeran neurgarria denez Brekin,...

queda claro que, si una recta es conmensurable en longitud con una recta expresable determinada, se llama expresable y conmensurable con ella no sólo en longitud sino también en cuadrado,... X, 18 l
it is manifest that, if any stright line be commensurable in length with a given rational stright line, it is called rational and commensurable with the other not only in length but in square also,...
il est évident que, si une certain (droite) est commensurable en longueur avec la (droite) exprimable proposée, elle est dite exprimable et commensurable avec celle-ci, pas seulement en longueur mais aussi en puissance,...
orduan, zuzen bat luzeran neurgarria bada emandako zuzen arrazional batekin, argi geratzen da deitzen zaiola arrazionala eta azken horrekin luzeran ez ezik karratuan ere neurgarria,...

Digo que BC es expresable y conmensurable en longitud con BA. X, 20 p
I say that BC is rational and commensurable in length with BA.
Je dis que BC est exprimable et commensurable en longueur avec BA.
Nik diot ezen BC arrazionala eta BArekin luzeran neurgarria dela.

El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado no es racionalmente expresable... X, 21 p
The rectangle contained by rational straight lines commensurable in square only is irrational,...
Le rectangle contenu par des droites exprimables, commensurables seulement en pissance, est irrational...
Arrazionalak eta karratuan soilik elkarrekin neurgarriak diren zuzenek eratutako errektangelua irrazionala da,...

Si se aplica un (área) expresable a una (recta) expresable, produce como anchura una (recta) expresable y conmensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado. X, 20 p
If a ratonal area be applied to a rational straight line, it produces as breadth a stright line rational and commensurable in length with the straight line to which it is applied.
Si une (aire) exprimable est appliquée sur une (droite) exprimable, elle produit comme largeur une (droite) exprimable et commensurable en longueur avec celle sur laquelle elle est appliquée.
Azalera arrazional bat zuzen arrazional bati gainezartzen bazaio, arrazionala eta gainezarria izan zaion zuzenarekin luzeran neurgarria den zuzen bat sortuko du zabalera gisa.

Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado,... X, 29 p
To find two rational straight lines commesnsurable in square only,...
Trouver deux (droites) exprimables, commensurables en puissance seulement,...
Aurkitu arrazionalak eta karratuan soilik elkarrekin neurgarriak diren bi zuzen,...

entonces MN, NO son inconmensurables en cuadrado. X, 57 p
therefore MN, NO are incommensurable in square.
les (droites) MN, NO sont donc incommensurables en puissance.
orduan, MN, NO karratuan elkarrekin neurtezinak dira.

Bukatzeko, X. liburuan agertzen diren zuzen irrazional desberdinen izenak ere aipatuko ditugu. Lau adibideetan, zuzenen izenak «dei bekio» aditzaren ondoren agertzen diren testu luzeak dira.

llámesela lado del cuadrado equivalente a un area expresable más un area medial. X, 40 p
and let it be called the side of a rational plus a medial area.
et qu'elle soit appelée (droite) pouvant (produire une aire composée) d'une exprimable et d'une médiale.
dei bekio azalera arrazional baten eta azalera medial baten baturaren baliokidea den karratuaren aldea.

llámesela lado del cuadrado equivalente a la suma de dos areas mediales. X, 41 p
and let it be called the side of the sum of two medial areas.
et qu'elle soit appelée (droite) pouvant (produire une aire composée de) deux médiales.
dei bekio bi azalera medialen baturaren baliokidea den karratuaren aldea.

llámesela la que hace con un área expresable un área entera medial. X, 77 p
and let it be called that which produces with a rational area a medial whole.
et qu'elle soit appelée (droite) produisant, par adjonction d'une (aire) exprimable, un tout médial.
dei bekio azalera arrazional batekin azalera oso medial bat sortzen duena.

llámesela la que hace con un (área) medial un (área) entera medial. X, 78 p
and let it be called that which produces with a medial area a medial whole.
et qu'elle soit appelée (droite) produisant, par adjonction d'une (aire) médiale, un tout médial.
dei bekio azalera medial batekin azalera oso medial bat sortzen duena.

Ondorioak

Ondorio nagusia klasiko bat euskaratu izana da. Hori ez da hutsaren hurrengoa; izan ere, guk dakigula, orain arte Euklidesen testua ez da klasikoak itzultzeko dauden proiektuetan sartu. Espero izatekoa da, hemendik aurrera horrelako testuak (Euklides, Arkimedes, Apolonio, Newton…) klasikoen bildumetan kontuan izatea.

Ondorio nagusi hori bere xehetasunetan azter dezakegu, eta ondorio partzial batzuk azpimarratu.

Testuan 208 termino jaso ditugu. Horietako asko (triangelu, paralelepipedo, zirkulu…) jadanik erabili izan ditugu matematika-irakasleok eta ikertzaileek. Bitxia da, ordea, lan honetan eman dugun bira. Termino horiek Euklides baino lehenagokoak dira, gehienak; guk gehienok gaztelaniaz ikasi ditugu, eta geroago euskaratu. Orain, jatorrira itzuliz, berriro erabili izan ditugu Euklidesen testu zahar bat euskaratzeko. Beste termino asko galdu dira historian zehar (apotoma, medial, aldi bakoitiko zenbaki bakoiti…), baina lan honen bidez berreskuratu ditugu.

Orain arte aipatu ez dugun alderdia dakargu ondorio hauetara. Elementuak liburuan zehar puntuazioa zaindu dugu bereziki, fraseologiaren ataleko adibideak baino ez da ikusi behar horretaz konturatzeko. Dena dela, eredurik onena itzulpena bera da.

Euklidesek oinarriak ezarri zituenetik ez da asko aldatu matematikariek beren testuetan erabiltzen duten diskurtsoaren egitura: datu batzuk hartu, eta zerbait ondorioztatu; tarteko ondorioak eta datuak hartu, eta zerbait ondorioztatu; horrela frogatu nahi dena frogatu arte. Zentzu horretan, badirudi matematikarien fraseologiak ez duela oso zabala izan behar. Baina ez da hori horrela, ideia berarekin hamaika esamolde desberdin osatu baititugu, bere atalean ikusi izan dugun bezala. Itzulpen honetan esamolde berriak ere ikusi ditugu.

UZEIk Matematika Hiztegia argitaratu zuenetik hogeita lau urte joan dira. Hogeita lau urte horietan, Matematika euskaraz irakatsi dugu, oinarrizko heziketatik unibertsitate mailaraino, apunteak idatzi ditugu, liburuak argitaratu ditugu, dibulgazio-artikuluak idatzi ditugu, tesiak irakurri ditugu, eremu berrietara zabaltzen ari da, etab. Beraz, lan horren etekinak eta gaur egungo egoera aztertzeko tenorea dela iruditzen zaigu. Zentzu horretan, itzulpen honek Matematika hiztegi berri baterako eta Matematika arloko diskurtsoa aztertzeko ekarpen bat izan nahi du.

Bibliografia

Angulo, P. (2005). Euklides. Elementuak. Elhuyar, Usurbil.

Arrieta, A. (2005). Euklides. Elementuak, Sarrera: Euklidesen Elementuak: Frogaren erresuma, 15–22 orr. Elhuyar, Errenteria.

Cabré, M. T. (2000). El traductor y la terminología: necesidad y compromiso (editoriala). Panace, 1(2):2–3.

Elhuyar (2005). Euskara-gaztelania / Castellano-vasco hiztegia. Elhuyar, Usurbil.

Ensunza, M., Etxebarria, J. R. eta Iturbe, J. (2002).Zientzia eta teknikarako euskara. UEU, Bilbo.

Euskaltzaindia (1990). Euskal gramatika. Lehen urratsak-III (Lokailuak). Euskaltzaindia, Bilbo.

Euskaltzaindia (2000). Hiztegi Batua. Euskaltzaindia, Bilbo.

Heath, T. L. (1956). Euclid. The Thirteen Books of The Elements, 1, 2 eta 3 libk. Dover Publications, INC., New York, 2. edizio.

Kayas, G. J. (1978). Euclide. Les Éléments, 1 eta 2 libk. CNRS, Paris.

Lorente, M. (2002). Verbos y discurso especializado. Estudios de Lingüística del español 16.

Mendiguren, X. (1985). «Itzulpen teoria eta praktika: joerak eta eskolak». Senez, 2.

Puertas, M. L. (1991-1996). Euclides. Elementos, 1, 2 eta 3 libk. Gredos, Madril.

UZEI (2002). Terminologia-lanaren metodologiako eskuliburua. HAEE, Gasteiz.

UZEI (2006). Euskalterm:"http://www1.euskadi.net/euskalterm".

Vitrac, B. (1990-2001). Euclide. Les Éléments, 1, 2, 3 eta 4 libk. Presses Universitaires de France, Paris.

Zalbide, M. e. a. (1982). Matematika Hiztegia, 1 eta 2 libk. UZEI, Donostia.

  1. ko uztailaren 17
  • Artikulu honen prestaketan Igone Zabalaren, Xabier Artolaren eta Kepa Sarasolaren laguntza izan dut. Zer esanik ez, asmatutakoak denonak dira, baina okerrak nireak. Mila esker hiruroi.
  1. Euklidesen X. liburutik, zenbaki irrazionalen sailkapenetik, geratzen zaigun termino bakarra «binomio» da; hortik, gero, «trinomio» eta «polinomio» sortuko ziren.
  2. Heath-ek dio Euklidesek ezarri zuela bi kontzeptu hauen arteko bereizketa, epiphaneia (gainazal) eta epipedon (gainazal lau); ordura arte, bai Platonek bai Aristotelesek bereizi gabe erabili zituzten edozein motatako gainazalak adierazteko.
  3. Euklidesek klisis (inklinazio) hitza erabili zuen ordura arte erabilitako klasis (haustura) hitzaren ordez.
  • Karratu terminoa: Hiztegi Batuan «karratu» izena agertzen ez bada ere, Matematikako terminologian betidanik erabili den terminoari eutsi diogu (metro cuadrado bezalakoak emateko «metro koadro» arautu dela jakitun garen arren).
  1. Irudi lerrozuzenen sailkapena Euklidesi zor zaiola iradokitzen du Heathek; izan ere, hitz horiek ez dira agertzen ez Platonen ez Aristotelesen lanetan.
  2. Heathen arabera, Proklok bi esanahi egokitu zizkion basis hitzari triangeluen testuinguruan: a) alderik aipatu ez bada, ikusmenaren parean dagoen aldea da; b) bi alde aipatu direnean, hirugarrena da. Praktikan «oinarria» horizontalean irudikatzen zuten; beraz, terminoa praktikatik etor liteke.
  3. Euklidesek orthe (ortogonal) eta kathetos (perpendikular) hitzak bereizi zituen; lehenengoa plano batekin angelu zuzena osatzen duten zuzenekin erabiltzen du, eta bigarrena esanahi orokorragoarekin.
  4. Badirudi parapleroma (osagarri) terminoa ez zela berria; izan ere, testuan, Euklidesek «osagarriak delakoak» idatzi zuen.
  5. Heibergek dio Platoni zor zaiola Euklidesek aukeratu izana semeion (zeinu, marka) hitza «puntua» definitzeko, Aristotelesek erabiltzen zuen stigme (marka, ziztada) hitza erabili beharrean.
  6. Euklidesek «ukitu» aditzetik «ukitzaile» izena sortu zuen.
  7. Euklidesek bi ukitze mota bereizi zituen, maila edo kategoria bereko bi lerroren artekoa, synaphe, eta maila desberdinekoen artekoa, epaphe.
  8. Heathek dioenez, Aristotelesek bi esanahirekin erabiltzen zuen periphereia (zirkunferentzia) hitza: a) mugaldearen esanahi orokorrarekin eta b) Matematikan, ortzadarra eta zirkunferentzia zirkulu baten arkuak bezala adierazteko. Euklidesek bereizi zuen «zirkuluaren zirkunferentzia» kontzeptua, nahiz eta beti ez erabili modu horretan. Euklidesek «zirkunferentzia» aipatzen du aurretik definitu gabe; horrek iradokitzen digu ezaguntzat ematen zuela.
  9. Euklidesek diametros (diametro) terminoa erabili zuen laukien aurrez aurreko bi erpinak lotzen dituen lerroa aipatzeko, guretzat «diagonal» dena. Bestalde, Euklidesek diagonal (diagonal) terminoa XI. liburutik aurrera erabili zuen, eta aurrekoetan «diametro» erabili zuen; guk berdin jokatu dugu. Esan dezakegu, beraz, testu honetako «diametro» terminoa ez dela gaur egungo terminoa bezalakoa, esanahiari dagokionez.
  10. Matematikari greziarrek ez zuten «erradio» hitza erabiltzen; horren ordez parafrasi bat erabiltzen zuten (zentrotik irudikatutako zuzena); guk «distantzia» erabili dugu, beste hizkuntzetan bezala.
  11. Platonek eta Aristotelesek enoia (nozio) hitza objektu baten nozio bezala erabiltzen zuten, ez egitate edo proposizio baten nozio gisa, Heathen arabera; Heathek iradokitzen du Euklidesek esanahi teknikoa eman nahi izan ziola, agian.
  12. Bi zentzutan erabiltzen zuten: a) beste baten azpian datzan planoa eta b) aurretik emandako planoa.
  13. Herodotok dio gnomon (gnomon) hitza babiloniarrengandik ekarri zutela greziarrek; eta zeruertzarekiko perpendikular dagoen makila baten posizioa da. Bestalde, askotariko erabilera izan zituen: angelu zuzenak irudikatzeko tresna bati lotuta; Pitagorikoek, antzekotasunez, zenbaki bakoitiak izendatzeko erabiltzen zuten, zenbaki karratuen erlazioan; «gnomon» esaten zioten karratu baten izkina batean beste karratu bat kentzean geratzen zen irudiari; Euklidesek «gnomon» hitzaren esanahia zabaldu zuen paralelogramoetara.
  14. Euklidesek haptesthai (topo egin) aditza eta ephaptesthai (ukitu) aditza bereizi zituen; hala ere, ez zuen beti koherente jokatu bereizketa horrekin testu osoan.
  15. Heathek dio greziarrek synistathai (altxatu) aditza triangeluak eraikitzeko edo marrazteko erabiltzen zutela; hau da, greziarrek, zuzen bat emanik, «bi zuzen altxatu» esaten zutenean, hiru zuzenek triangelu bat osatzeko baldintzak betetzen zituztela ulertzen zuten. Hori ez da «altxatu» aditzaren esanahi berezitua gaur egun.

+ Gaztelaniazko eta frantsesezko testuetan beste definizio bat sartu dute 9. definizioaren ondoren; beraz, testu horietan 16. definizioa da hori.

+ bezala: Testuan dagoen bezala utzi dugu; baina azkeneko zuzenketatik ihes egindakoa da; berez «bezalakoa» beharko luke.

+ A:B…: ingelesez arrazoi gisa adierazi dute; gainerako hizkuntzetan Euklidesek erabili zuen laburdura erabili dugu: AB

+ laukizuzen: honek eta liburu honetako askok erabaki genuen aldaketatik ihes egin digute; berez «errektangelu» beharko luke.

+ laukizuzen: honek eta liburu honetako askok erabaki genuen aldaketatik ihes egin digute; berez «errektangelu» beharko luke.